CIMI, FÓRMULA DEDUZIDA

 Em resultado da análise dos distintos factores, a determinação do valor patrimonial tributário (valor matricial) dos prédios urbanos para habitação, comércio, indústria e serviços, resultará da aplicação da seguinte expressão:

         Vt = Vc x (Aa x 1.00 + Ab x 0.30 + Ac x 0.025 + Ad x 0.005) x Ca x Cl x Cq x Cv

Atender-se-á ainda às directrizes do Anexo II  da Portaria nº 982/2004, nas definições constantes da qualidade construtiva, de localização excepcional e de estado deficiente de conservação.

ARTIGO AO CONGRESSO CONSTRUÇÃO; COIMBRA 2012 (PARTE_2)

4.1 Regressão por mínimos quadrados

Tomando antilogaritmos na equação de regressão, o valor unitário homogeneizado pode ser calculado a partir da expressão anterior como é mostrado a seguir:

VH= VU / [ e^(10,26075199 / ABCONSTRUÇÃO½+0,5056724753 * MORADIA+0,2649307131 * APARTAMENTO+0,04463118538 * COMERCIO-0,3721095487 * VETUSTEZ+0,02212837202 * PADRÃO²-0,0002694291287 * ATTERRENO)]

A partir da análise do semivariograma omnidirecional de VH observa-se que os dados apresentam grande dependência espacial até uma distância de alcance um pouco superior aos 1302 metros. Nos modelos de regressão espacial, a estimação desta distância de vizinhança é geralmente determinada a priori, de forma externa aos dados. Esta distancia definirá a dimensão da Matriz W. Uma matriz de pesos espaciais ponderada por linha, calculada com base no inverso da distância entre os imóveis, que é a abordagem universalmente recomendada para análise de mercado imobiliário em modelos de preços hedónicos.

                     Fig. 1 Localização dos dados da pesquisa de mercado, veja-se [14]

                   Figura 2 Semivariograma omnidireccional de VH homog.
                               por regressão por mínimos quadrados.

4.2  Regressão espacial

A análise de auto correlação espacial dos residuos do modelo de mínimos quadrados pode ser observada na Tabela 2.

   

INDÍCES DE MORAN I
Moran I	0.05144
Moran I - Estatística	3.97843
Significância	0.00007
Média	-0.01257
Desvio-Padrão	0.01609
INDICES LM ROBUSTO
Erro Espacial	7.08707
Erro (significância)	0.00776
Desfasagem Espacial	4.79497
Desfasagem (significância)	0.02854

     Tabela 2. Diagnóstico de autocorrelação espacial.

Os resultados mostram a existência de forte auto correlação espacial: o teste de Moran e os dois testes do modelo espacial do erro mostram-se fortemente significativos.

	MODELO DE MINIMOS QUADRADOS	MODELO ESPACIAL DO ERRO
Coeficiente de Determinação	0,4777375	0,7640690
Coeficiente de Correlação	0,6174214	0,8642411
Fisher-Snedecor	22,22	60,45
Confiabilidade Mínima	0,99	0,99
Significância	0,01	0,01

         Tabela 3.  Comparação entre modelos de MQ e Espacial

Na análise de sensibilidade do modelo espacial verifica-se que, com o aumento da área bruta de construção, o valor unitário do imóvel  decresce 13.69%. Decresce ainda 13.22% com o aumento da vetustez, cresce 6.46% com o aumento do padrão, cresce 0.24% com o aumento em latitude, decresce 20.02% com o aumento em longitude, cresce 149.29% se se tratar de moradia, cresce 111.91% se se tratar de apartamento, cresce      114.10% se se tratar de comércio, e cresce ainda 7.66% com a área de terreno associado. A análise de sensibilidade é coerente com a realidade.

4.3 Aplicação do método geoestatístico

Tomando antilogaritmos na equação de regressão espacial, o valor unitário homogeneizado VH pode ser calculado como é mostrado a seguir:

VH = VU / (+113,7132577 / ABCONSTRUÇÃO½ +12,76930522 * MORADIA +10,05209251 * APARTAMENTO +10,21754563 * COMERCIO -5,431664172 * VETUSTEZ +1,752486109 * PADRÃO +0,009212188898 * ATTERRENO)²

A análise da auto correlação dos novos dados VH através do ensaio de um semivariograma estrutural omnidireccional, revelaram ser um conjunto de valores fortemente independentes sem auto correlação que permita o ajustamento a qualquer modelo teórico de semivariograma. Estes novos dados crescentemente homogeneizados e fortemente assimétricos, são um índice representativo da percentagem não explicada da variável dependente. Ou seja, será representativo do valor unitário do metro quadrado dos imóveis, não atribuível aos atributos físicos e construtivos e, em tese, representativo do valor da localização relativa dos dados da amostra.

Este novo índice VH de  baixa variância,  baixo valor absoluto e grande assimetria, foi adicionado  ao modelo inicial de regressão por mínimos quadrados (MQO) como uma nova variável explicativa do modelo.  Tomando os antilogaritmos obtivemos do novo modelo por minimos quadrados a seguinte equação de regressão,:

VALOR/M2 = e^(+6,882672018 +9,009842078 / ABCONSTRUÇÃO½ +1,170634601 * MORADIA +1,027712928 * APARTAMENTO +1,115007951 * COMERCIO -0,3949747045 * VETUSTEZ +0,02003085739 * PADRÃO² +0,0008549415707 * ATTERRENO -2,469002367 / VH2½)

Finalmente, de acordo com o modelo obtido, o valor da localização dos imóveis pode ser obtido da seguinte forma:

Valor/m2 da localização :            Valocal = e^(6,882672018 -2,469002367 / VH2½)

O semivariograma omnidireccional de Valocal aparece na Figura 2, onde pode ser analisada a estrutura de variação espacial, mostrando menor variância para as observações mais próximas e maiores variâncias para as observações mais distantes.

                            Figura 2. Semivariograma experimental omnidireccional da variável Valocal

A análise dos semivariogramas experimentais para todas as direções comprova a existência de um padrão de variação espacial esférico de semivariograma. Os semivariogramas obtidos mostram que os dados apresentam uma variabilidade devida à estrutura espacial que responde por cerca de 50% da variância total, sendo os outros 50% devidos a outras causas.  Os parâmetros deste semivariograma podem ser observados na Tabela 4.

PARÂMETRO	NOTAÇÃO	VALOR
Efeito Pepita	Co	218
Patamar	Ct	6436
Alcance	a	608
Ângulo de Anisotropia	<	0º
Factor de Anisotropia	F	0.914

Tabela 4. Parâmetros do Semivariograma Estimado

O alcance máximo da dependência espacial é de 608 metros na direção N/S enquanto o factor de anisotropia igual a 0.91 indica que o alcance da influência entre observações na direção E/W é igual a cerca de 91% da distância de influência na direção N/S.

Utilizando os parâmetros do semivariograma e uma grade de krigagem de 100 metros de lado foi realizada a krigagem da variável Valocal, sendo estimados os valores do atributo VL (valor da localização) em locais não amostrados a partir de dados amostrados na mesma área. A nova variável VL (Valor da Localização)  é assim o resultado das estimativas da krigagem por blocos do valor médio  da variável Valocal. O método da krigagem produz uma suavização nos dados, diminuindo os valores extremos devido às características da interpolação, aos parâmetros do semivariograma e também à homogeneização produzida pela krigagem. O suporte informativo do valor da localização deixou de ser Valocal pontual conforme a amostragem e passou a ser contínuo e em superfície com uma grelha de 100x100m policromática com um gradiente de variação do valor de localização de aproximadamente 30 €/m2, agora com a designação de VL.

O resultado da krigagem permite analisar e interpretar consistentemente a complexa interação e fatores de valorização e desvalorização da região. Os resultados apresentam coerência com a realidade da área de estudo possibilitando uma fácil interpretação. A variável VL obtida pela krigagem representa de forma consistente a valorização e desvalorização das diferentes localizações a partir das informações contidas na amostra de mercado.

                                  Figura 3. Carta de Isovalores da Variável VL (montagem)

4.4 Modelo de Avaliação em Massa

Para verificar a significância estatística da variável VL foi calculado um novo modelo de regressão por mínimos quadrados onde VL ( com os valores de Valocal) é incluída como variável explicativa. Os resultados do novo modelo de regressão, observados na Tabela 5, mostram a forte significância da variável VL, eliminando a auto correlação espacial nos resíduos e o poder de explicação geral do modelo.

                                       Tabela 5. Tabela de resultados para variáveis

A variável explicativa VL (Valocal), que representa o valor da localização dos imóveis, mostra-se como uma das variáveis individuais com maior grau de significância.

Os testes de normalidade e homocedasticidade dos resíduos mostraram resultados satisfatórios. A Figura 4 mostra graficamente a normalidade dos resíduos do modelo, comparando o valor dos resíduos com o seu valor normal esperado, obtendo-se um ajuste adequado.

                                 Fig. 4. Gráfico de normalidade dos resíduos da regressão

Outro resultado muito importante é o referente aos testes de autocorrelação espacial dos resíduos da nova regressão por MQO. Na Tabela 6 pode ser observado o resultado do diagnóstico de auto correlação dos resíduos, onde todos os testes mostram que a nova regressão não apresenta auto

correlação espacial dos resíduos.

INDÍCES DE MORAN I
Moran I	-0.0149
Moran I -Estatística	0.09187
Significância	0.992680
Média	-0.01682
Desvio-Padrão	0.02090
INDICES LM ROBUSTO
Erro Espacial	0.36635
Erro (significância)	0.54500
Desfasagem Espacial	2.27020
Desfasagem (significância)	0.13188

                   Tabela 6. Testes de autocorrelação espacial do novo modelo de MQO

Os testes de Moran e do Multiplicador de Lagrange para os modelos do erro e da variável dependente mostram que não existe auto correlação significativa nos resíduos da regressão, verificando-se somente a possibilidade de um pequeno erro por desfasagem espacial.

O modelo de avaliação em massa proposto permite calcular o valor para todos os diferentes tipos de imóveis incluídos na amostra e em toda a área considerada.

5. CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES

5.1 Conclusões

1. O método permitiu estimar um índice do valor da localização fortemente significativo no modelo de avaliação em massa. O método utilizado mostrou que o valor da localização de um imóvel é o resultado da interação de diversos pólos e efeitos de valorização e desvalorização. Este valor pode ser considerado como uma variável regionalizada e modelado por geoestatística. A multiplicidade de pólos de valorização ficou evidenciada na carta de isovalores, cada um deles caracterizado por uma área de influência, gradiente e anisotropias de variação específicas.

2. O método utilizado mostrou que o semivariograma experimental omnidirecional foi uma ferramenta útil para estimar a dimensão da matriz de vizinhança da regressão espacial com critérios objetivos, definindo o principal parâmetro da matriz, a distância máxima de vizinhança, em função da análise dos dados de mercado.

3. O método adotado mostrou que é possível a utilização de dados de mercado de diferentes tipos de imóveis em simultâneo para predizer estimativas na avaliação em massa e para determinar o valor da localização. Os fatores de localização mostraram um efeito similar para todos os tipos de imóveis e a estimativa de valorização específica para cada tipo de imóvel foi modelada por regressão por minimos quadrados. O modelo final MQO incluindo a variável de localização estimada apresentou desempenho superior ao modelo espacial do erro, melhorando o seu poder explicativo.

5.2 Recomendações

1. O método proposto poderá ser de grande utilidade na implementação de Sistemas de Informações Geográficas (SIG´s) nas Câmaras Municipais, instrumento já adotado por alguns municípios. Na maioria das situações com um upgrade em análise estatística, baixo investimento de capital e reduzida mobilização de meios técnicos e humanos, conseguir-se-á uma permanente atualização e manutenção de um hipotético sistema de avaliação patrimonial mais eficiente e rigoroso. Conseguir-se-á a elaboração de plantas de valores genéricos atualizadas de prédios urbanos e terrenos, em concordância com  reais valores de mercado e de um modelo de avaliação em massa. Proporcionará uma melhoria de instrumentos para politicas de ordenamento do território e para políticas de equidade fiscal. Permitirá o traçado de cartas de isovalores para a localização, atual razão para todas  as inseguranças e “angústias” do avaliador patrimonial, margens de subjetividade e erros de avaliação.

2. A normalização da avaliação imobiliária em Portugal, de metodologias e de profissionais, tendo subjacente a normalização europeia na adoção de métodos estatísticos  e  um mercado de serviços de avaliações periciais mais esclarecido e esclarecedor com um decorrente mercado imobiliário e fundiário mais regulado e transparente seria um ganho social e económico relevante para a população em geral. Nesse sentido nova regulamentação da atividade de avaliação imobiliária em Portugal, deveria ser estudada porventura em parceria com o Conselho Nacional das Ordens Profissionais e através desta, elaborada proposta de lei à Assembleia da República.

Em nossa opinião, justifica-se a assunção pelo meio académico, do ensino regular das modernas e mais tradicionais metodologias de avaliação imobiliária, como uma disciplina curricular, no âmbito de formações com componente em gestão de empreendimentos e em particular nos cursos de engenharia civil e arquitetura, parece-nos absolutamente pertinente, dada a maior convergência e aptidão destes profissionais, desde sempre reconhecida pelo mercado, para este tipo de serviços. A total ausência de regulamentação do sector, seja no acesso à atividade, seja no modo como é exercida, tem-se traduzido na prática, por um significativo atraso generalizado no conhecimento e aplicação das melhores regras de arte desta profissão técnica, que tem nos profissionais de engenharia civil e arquitetos os principais intérpretes. A proliferação da oferta de cursos de pós-graduação nesta área, alguns com mais de década e meia de edições, é bem sintomática da procura e da necessidade de formação que os imensos profissionais desta técnica sentem.

REFERÊNCIAS

[1] L. Anselin, Spatial Econometrics. Discussion paper, Bruton Center, School of Social Sciences, University of Texas at Dallas, 1999.

[2] L. Anselin, Under the Hood. Issues in the Specification and Interpretations of Spatial Regression Models, Agricultural Economics, vol.27, Issue 3, pp 247-267, 2002.

[3] A. Can, The Measurement of Neighborhood Dynamics in Urban House Prices, Economic Geography, vol. 66, pp. 254-272, 1990.

[4] A. Can, Specification and estimation of hedonic housing price models, Regional Science and Urban Economics, n. 22, pag. 453-474, 1992.

[5] R. C. Guervós, Aproximación al Valor de la Vivienda. Aplicación a la Ciudad de Granada, Ed.Universidad de Granada, 1999.

[6] J. C. Olmo, Teoría de las Variables Regionalizadas. Aplicación en Economía Espacial y Valoración Inmobiliaria, Ed. Universidad de Granada, 1994.

[7] R. A. Dantas, Modelos Espaciais aplicados ao Mercado Habitacional. Um Estudo de Caso para a Cidade do Recife, Tese de Doutorado em Economia. Universidade Federal de Pernambuco. Recife, 2003.

[8] R. A. Dantas, A. M. Magalhães, F. J. Rocha, La importancia de la regresión espacial en la tasación inmobiliaria, I Congreso Internacional en Tasación y Valoración. Valencia, 2002.

[9] R. Dubin, Estimation of Regression Coefficients in the Presence os Spatially Autocorrelated Error Terms, The Review of Economics and Statistics, Vol. 70, 3, pp. 466-474, 1988.

[10] R. Dubin, Spatial autocorrelation and neighborhood quality, Regional Science and Urban Economics, n. 22, pag. 433-452, 1992.

[11] R. K. Pace, O. W. Gilley, Using the Spatial Configuration of the Data to Improve Estimation, Journal of Real Estate and Economics, vol. 14, número 3, pp. 333-340, 1997.

[12] R. K. Pace, R. Barry, C. F. Sirmans, Spatial Statistics and Real Estate, Journal of Real Estate Finance and Economics, Vol. 17, N. 1, 1998.

[13] C. A. Trivelloni, Método para Determinação do Valor da Localização com Uso de Técnicas Inferenciais e Geoestatísticas na Avaliação em Massa de Imóveis, Tese de Doutorado, Universidade Federal de Santa Catarina, 2005.

[14] J. Cardoso da Silva, O Cimi Face à Inferência Estatística, Tese de Mestrado, FCTUC, 2006.

[15] J. Cardoso da Silva, Avaliação Em Massa – Determinação do Valor da Localização, Tese de Doutoramento, Universidade de Coimbra, 2012.

ARTIGO AO CONGRESSO CONSTRUÇÃO; COIMBRA 2012 (PARTE_1)

Como antes havíamos anunciado, fazemos agora a publicação do Artigo que apresentámos no Congresso de Construção, em Coimbra no passado mês de Dezembro. Por ser um artigo bastante extenso, faremos essa apresentação, dividida em  duas partes. Uma primeira  que poderíamos designar de enunciado teórico, e uma segunda ,  em data posterior, que poderíamos designar de resolução prática. Aqui fica:

1.         INTRODUÇÃO

Apesar da relevância de um forte e tradicional mercado de serviços nesta área, a atividade profissional de avaliação imobiliária em Portugal padece de “enfermidades” e resiste fortemente a um “tratamento”. Comparativamente ao que se faz noutras partes do mundo, o atraso é evidente.

Em primeiro lugar, a profissão está completamente desregulada. Há duas associações profissionais, a APAE- Associação Portuguesa de Avaliadores de Engenharia e mais recentemente a ANA- Associação Nacional de Avaliadores, sem quaisquer sinais de convergência entre ambas e ambas com representatividade diminuta face ao universo de profissionais. Neste cenário a CMVM - Comissão de Mercado de Valores Mobiliários, parece ter-se outorgado a si própria a capacidade de estabelecer as condições de registo e acesso destes profissionais na avaliação de imóveis de fundos imobiliários, estabelecendo para tal determinados parâmetros e valores mínimos.

Ao nível da avaliação patrimonial fiscal, que afeta uma grande parte dos portugueses, o cenário é idêntico. Aí, o código CIMI - Código do Imposto Municipal sobre Imóveis é “a Bíblia” e nada mais parece importar. Tem havido alguma contestação relativamente ao método de cálculo da avaliação consagrado no código CIMI, cujas debilidades são cada vez mais evidentes face à atual degradação dos valores de mercado.

Neste último domínio, da tributação patrimonial dos prédios urbanos em Portugal e da habitação em particular, é assaz relevante por razões de Estado, de justiça social e equidade, conhecer o efetivo e real valor de mercado e de rendimento dos imóveis. Para tal impõe-se uma profunda reforma legislativa e reguladora da atividade de avaliar que nos aproxime do estado da arte em uso, em comunidades técnica e cientificamente nesta profissão mais desenvolvidas. Estamos a pensar não só no mundo anglo-saxónico mas também na América do Sul, nomeadamente em países como o Brasil com um regime de avaliação fiscal sobre o património reconhecidamente bem regulamentado e respeitado, eficiente e apoiado na análise estatística de mercado.

Entre analistas do mercado imobiliário e investigadores em engenharia de avaliações é consensual que entre todas as variáveis que influenciam no valor dos imóveis, as variáveis ou fatores referentes à localização dos imóveis são as questões mais complexas de analisar e modelar. Os modelos tradicionalmente utilizados na avaliação em massa, baseados na inferência estatística por mínimos quadrados, geralmente apresentam dificuldades para lidar com a complexidade dos fatores de localização.

Os fatores de localização que valorizam os imóveis são inúmeros: proximidade aos centros comerciais, centros de educação, de saúde, segurança pública, padrão construtivo, polos ambientais desejáveis ou indesejáveis, entre outros. A lista completa destes fatores pode ser extremamente ampla. Ao mesmo tempo, a dinâmica urbana produz uma contínua mudança nos efeitos destes fatores sobre o valor dos imóveis: novos investimentos públicos ou privados, novos empreendimentos económicos, atividades comerciais, empreendimentos imobiliários, loteamentos, entre outros, produzem mudanças significativas nas características de cada vizinhança e nos valores dos imóveis. Quase toda a mudança urbana afeta o valor dos imoveis próximos, transformando a localização no fator mais dinâmico da sua valorização e razão de todas as angústias profissionais do avaliador.

Assim, pretendeu-se desenvolver e adotar para uso pessoal e trabalho profissional, um método de determinação do valor da localização dos imóveis de uma região a partir da análise de dados de mercado utilizando modelos de regressão espacial e geoestatísticos. Tomou-se sobretudo como base a análise, verificação, confirmação e simplificação dos processos alcançados por Trivelloni 2005, melhorando contudo a sua performance e realizando um novo modelo de avaliação em massa.

Pretende-se também sensibilizar a comunidade técnica e científica em Portugal para a necessidade e urgência da adoção de regulamentação e normalização de procedimentos e profissionais no exercício da atividade de avaliador imobiliário, por forma a conseguir uma equiparação ao melhor uso e desenvolvimento alcançado no estado da arte noutras latitudes.

2.   Modelos tradicionais de avaliação em massa

Os modelos tradicionais de avaliação imobiliária procuram explicar o valor a partir da estimativa por inferência estatística das variáveis que o influenciam, sendo estas classificadas em características construtivas próprias do imóvel e características de localização, de acessibilidade e vizinhança.

As variáveis de acessibilidade, definidas em função da distância do imóvel a um polo de valorização ou desvalorização, podem não ser estatisticamente significativas nos modelos de inferência. Tal poderá ocorrer como consequência de uma composição insuficiente da amostra ou pela especificação equivocada da função distância no modelo.

As variáveis de vizinhança que definem a localização a partir de áreas onde este efeito pode ser considerado semelhante para os imóveis podem resultar não significativas por insuficiência na amostragem ou por erros na delimitação destas zonas.

Quando as variáveis relacionadas com a localização não são corretamente especificadas podem surgir outros problemas. Além da perda de poder de explicação, a presença de auto correlação espacial nos resíduos invalida uma das hipóteses básicas da inferência, tornando ineficientes as estimativas e inválidos os testes de hipótese.

3.   Métodos de análise espacial

A dependência espacial do valor dos imóveis, produzida pela sua localização, tem mostrado a insuficiência das técnicas tradicionais de inferência para avaliação em massa, levando ao desenvolvimento de técnicas de estatística espacial para o tratamento de dados imobiliários.

Na literatura de avaliação imobiliária existem duas metodologias para o tratamento espacial dos dados: a econometria espacial e seus modelos de regressão; o uso da geoestatística.

Os modelos espaciais trabalham com dois tipos de dados: os geobjetos e os geocampos. Os geobjetos são entidades discretas, geralmente representadas nos Sistemas de Informações Geográficas como pontos, linhas ou polígonos, enquanto os geocampos pertencem a uma distribuição espacial contínua representada geralmente como superfícies. Anselin fundamenta (veja-se [2]) a escolha por um ou outro modelo em função do tipo de dados espaciais considerados. Segundo este autor, os geobjetos devem ser tratados por econometria espacial enquanto que os geocampos devem ser analisados com modelos geoestatísticos. No caso do mercado imobiliário os dados apresentam simultaneamente comportamentos identificáveis como geobjetos e geocampos, devido à natureza dos fatores que influenciam o seu valor, abrindo a possibilidade de tratamento por ambas metodologias.

O uso combinado de ambas técnicas [13] supera algumas das deficiências e limitações dos métodos espaciais, potencializando as suas vantagens com resultados satisfatórios. Permite o tratamento adequado para os dois tipos de variáveis que influenciam o valor: a análise por econometria espacial das características construtivas e a análise por geoestatística dos fatores de localização.

3.1  Econometria espacial

Segundo [1] a econometria espacial é a parte da econometria que lida com o tratamento da estrutura espacial e interações de dados geograficamente distribuídos. A dependência espacial pode ser incorporada nos modelos de regressão de duas formas: no modelo de Desfasagem Espacial e no modelo do Erro Espacial. Formalmente, o modelo de Desfasagem Espacial é expresso da seguinte forma:

Y = ρWy + XB + ε

onde Y é o vetor da variável dependente, ρ é o coeficiente de autocorrelação espacial, W a matriz de pesos espaciais, X é a matriz das observações nas variáveis independentes dos dados, B é o vetor de parâmetros e ε é o vetor de resíduos do modelo.

Por outro lado, o modelo do Erro Espacial é expresso formalmente da seguinte forma:

y = XB + ε,

 ε = λWε + u

onde λ é o coeficiente de auto correlação espacial, u é o vetor de resíduos não correlacionados e os outros termos são os mesmos do modelo anterior.

Estudos sobre auto correlação espacial nos dados do mercado imobiliário e aplicação dos modelos de regressão espacial podem ser encontrados em [3], [7], [8], [9], [11], [12], [13], entre outros.

3.2  Geoestatística e Teoria das Variáveis Regionalizadas

Segundo [6], quando existe dependência entre uma variável aleatória e a sua localização espacial essa variável é chamada de regionalizada. A Teoria das Variáveis Regionalizadas (TVR) dedica-se à análise e inferência espaciais de variáveis que dependem da localização espacial onde são observadas. Segundo este autor, a variação espacial de uma variável regionalizada pode ser expressa pela soma de três componentes. Se o vetor x representa uma posição em uma, duas ou três dimensões, então o valor da função aleatória Z, em x, é dada por:

Z(x) = m (x) + e¢ (x) + e¢¢

onde m (x) é uma função determinística que descreve a componente estrutural de Z em x, e¢ (x)  é um termo estocástico correlacionado que varia localmente e e¢¢ é um ruído aleatório não correlacionado, com distribuição normal com média 0 e variância  s²

Considerando uma amostra Z(x₁), ....,Z(x_n), e sendo necessário estimar o valor Z(x_o) num ponto x₀, o estimador de krigagem Z_k define-se como uma combinação linear dos Z(x_i) e dos ponderadores λ_i conforme a expressão seguinte (Chica Olmo, 1994):

Z_k = Σ_i λ_i Z_i

Os ponderadores λ_i serão obtidos de forma que o estimador Z_k seja ótimo, ou seja, a variância do erro seja mínima. São calculados a partir da estrutura geométrica dos dados, atribuindo valores menores aos pontos mais afastados e valores maiores aos pontos mais próximos.

Estudos de aplicação dos métodos geoestatísticos nesta área da avaliação imobiliária podem ser encontrados em [5], [6], [10], [13], entre outros.

4.   Metodologia

Quando analisado o mercado imobiliário numa dada região geográfica, em condições semelhantes de transação e coleta (nomeadamente na mesma época), o respetivo valor dos imóveis poderá ser obtido através do seguinte modelo geral:

V = f (L,T,CFT)

onde V representa o valor do imóvel, L representa as variáveis de localização, T representa o tipo de imóvel e FT representa as características físicas do imóvel em função do tipo.

Segundo [13], entre outros, o valor de localização dos imóveis, considerado como a interação ou efeito combinado de todos os fatores que influenciam na vizinhança do imóvel, pode ser analisado como uma variável regionalizada e modelado por técnicas geoestatísticas.

A expressão geral do modelo utilizado é a seguinte:

VU = VL * FTIPO * FCF1 * FCF2 * ... * FCFn

onde VU é o valor unitário do imóvel, VL representa o valor da localização, FTIPO é um fator de correção dependente do tipo de imóvel e os FCFi representam fatores correspondentes às características construtivas para cada tipo de imóvel.

Para estimar VL é necessário homogeneizar os valores dos dados de mercado em relação às características construtivas dos imóveis. Em [15] o resultado desta homogeneização é um conjunto de valores VH que é um índice que expressa a percentagem não explicada dos valores da variável dependente. Para obtenção dessa percentagem, as estimativas do modelo espacial serão calculadas sem as variáveis ou parcelas que na respetiva equação de regressão não sejam atributos físicos e construtivos. Estas estimativas serão usadas como divisores, do correspondente conjunto original de valores observados e os quocientes obtidos serão o novo conjunto de dados VH. Este conjunto de valores VH representa a percentagem não explicada do valor unitário do metro quadrado dos imóveis. Isto é, não atribuível aos atributos físicos e construtivos e em tese, representativa do valor dos fatores de localização associados aos dados da amostra.

Sendo os imóveis objetos espaciais a metodologia estatística aplicável para homogeneização pertence à econometria espacial.

Para a aplicação do modelo e aferição de valores tomou-se como área de estudo o mercado imobiliário da Vila e Nazaré excluindo os núcleos de Pederneira e Sítio. Os dados usados foram compilados no decorrer do ano 2003/04, em processos de avaliação profissional de forma independente e ao serviço de entidades bancárias como entidades hipotecárias. São ainda os mesmos dados que serviram de base ao estudo referenciado em [14]. No total obteve-se informação correspondente a 175 imóveis dos quais 106 eram apartamentos, 25 moradias, 18 comércios e 26 terrenos urbanos. As características levantadas para todos os imóveis foram as seguintes: tipo de imóvel (terreno, moradia, apartamento ou comércio), localização (coordenadas geográficas do centro da superfície do lote), área bruta de construção, padrão construtivo, idade da imóvel transformada em vetustez através da parábola de Kwentzel, para um máximo de trinta anos. A pesquisa incluiu a área bruta construída e a área total do terreno. A variável “padrão construtivo” assume a notação (1) para padrão baixo, (3) para médio, (5) para padrão alto. No caso de terrenos a notação incide exclusivamente sobre a qualidade da envolvente, dos acessos e dimensão panorâmica. O padrão construtivo,foi uma classificação feita que reporta à data do estudo [14].Contemplou uma lista de atributos do tipo SEL e QUALITEL que incluíram a observação e notação para a envolvente, para os acessos, para o edifício, para a habitação e para a qualidade do projeto e execução, num total de 215 atributos. A notação final usada, resulta da ponderação desses atributos. As variáveis construtivas para os tipos de imóveis foram definidas como se explicita na Tabela 1.

NOME	TIPO	DESCRIÇÃO
ABCONSTRUÇÃO	Continua	Área bruta total Edificável (habit.ou comércio) em m2
MORADIA	Dicotómica	1 se é Moradia, 0 se não.
APARTAMENTO	Dicotómica	1 se é Apartamento, 0 se não.
COMÉRCIO	Dicotómica	1 se é Comércio, 0 se não.
VETUSTEZ	Contínua	Depreciação sequencial de Kwentzle (u/n)^2
PADRÃO	Contínua	Baixo (1) Médio (3) Alto (5)
TERRENO_AT	Contínua	Área total do terreno, 0 se não há terreno.

Tabela 1. Resumo das sete variáveis construtivas dos imóveis da amostra